El problema de Monty Hall

Se conoce como "el problema de Monty Hall" una paradoja lógica que a todos nos resultará familiar.

Monty Hall es el nombre del presentador de un famoso programa concurso de la televisión estadounidense llamado Let's make a Deal, emitido durante los años 60 y 70. Su mecánica consistía básicamente en ofrecer al concursante que eligiera uno de entre varios regalos ocultos. Luego se le daba la posibilidad de ir cambiando su regalo por otro de los restantes o una cantidad de dinero, y finalmente el concursante ganaba lo que contuviera el regalo con el que finalmente se quedaba.

¿Les suena? Seguro que sí. Muchos concursos televisivos emitidos en España se basan en un esquema parecido, por ejemplo la sección de La Subasta del famoso 1,2,3 o más recientemente el exitoso Allá tú.

En todos estos concursos el presentador normalmente ofrece al concursante intercambiar el regalo elegido por otro de los restantes o por una cantidad de dinero. Y aquí viene la paradoja.

Veamos:

• Supongamos que inicialmente hay 3 cajas (A, B, C), una de las cuales contiene 1000 euros y las otras dos una patata.
• Elegimos la caja A.
• El presentador, para darle más interés, decide abrir la caja B para demostrar que contiene una patata (por supuesto, él sí que sabe en qué caja está el dinero y siempre abre una vacía). En este momento quedan la caja A en nuestro poder y la caja C sin abrir.
• Y ahora viene el dilema: el presentador nos pregunta si queremos quedarnos con la caja A o cambiarla por la caja C.
  
• La pregunta es ¿Cuál es la mejor elección? (si es que hay alguna mejor)
  

Intuitivamente casi todo el mundo responde que da igual, ya que hay el 50% de probabilidad de que el dinero esté en cualquiera de las dos cajas. Cierto ¿no...?

Pues no (por eso es una paradoja).

Pero antes de intentar explicarlo tengo que decir que la mejor manera de convencerse es probándolo en vivo. Se pueden tomar 3 naipes (2 del mismo valor y otro distinto que represntará el premio) y con la ayuda de un amiguete que hará de presentador intentar reproducir el juego en una serie de jugadas (50 serán suficientes) eligiendo siempre la misma alternativa (por ejemplo, quedarse siempre con la carta elegida) y luego repetir otra serie con la alternativa contraria (cambiar siempre la carta por la oculta). En seguida se apreciará cuál es la opción que proporciona mayores probabilidades de ganar.

Y ahora la explicación: lo mejor es cambiar de caja siempre ya que eso amplia claramente la probabilidad de ganar premio.

¿Por qué es así? No voy a intentar explicarlo mediante complejos estudios probabilísticos, que se pueden encontrar muy bien documentados consultando los enlaces que proporciono al final. Aquí va mi explicación sencilla que espero sea entendible:

• Situación inicial: cada caja tiene 1/3 de probabilidad (digamos el 33% para aproximar) de contener el premio.
• Elegimos la caja A, que recordemos que tiene el 33% de probabilidad.
• Quedan las cajas B y C, cada una con el 33% de probabilidad, por lo que lógicamente entre ambas reúnen el 66% de probabilidad.

Es decir, hasta aquí tenemos que A=33% y B+C=66%

• El presentador abre la caja B, que está vacía.
• ¿Qué nos queda? Aquí viene la paradoja.
  
• Normalmente la respuesta será que la caja A tiene el 50% de probabilidad de premio y la caja C el otro 50%.
  
• Pero lo que ocurre de verdad es que la probabilidad del 66% del grupo B+C se sigue manteniendo aunque la caja B esté abierta (ya que no hemos cambiado ninguna otra premisa del problema).
  

Aunque sea chocante, lo cierto es que A=33% y B(abierta)+C=66%. Recuérdese que nada ha cambiado excepto que B está ahora abierta. Podemos asimilarlo a que C "hereda" la probabilidad completa del 66% ya que sabemos que B está vacía y ya no se puede elegir pero sigue formando parte del grupo B+C.

Por lo tanto, aunque cueste creelo, la probabilidad de que C tenga premio es del 66% frente al 33% de A.

Lo mejor es cambiarse a C, sin duda.

Y como siempre habrá algún incrédulo, les animo a que hagan la prueba que les propuse más arriba si tienen un rato libre y un amigo dispuesto, o en su defecto que consulten los enlaces que les proporciono. Seguro que ellos lo explican mucho mejor que yo.

• http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall
• http://blog.intuicionlogica.com/mayra-y-monty-hall/
  
• http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08tier.html (en inglés)
• http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem (en inglés)